অসীমের উপর গাণিতিক এবং দার্শনিক দৃষ্টিভঙ্গি

অসীমের উপর গাণিতিক এবং দার্শনিক দৃষ্টিভঙ্গি

মুসলিম দার্শনিক ইমাম আল গাজ্জালী (র) মহাবিশ্বের শুরু সম্পর্কে ওয়েস্টার্ন দার্শনিকদের তত্ত্বের অসামাঞ্জস্যতা তুলে ধরতে বলেন, যদি মহাবিশ্ব প্রকৃত পক্ষেই অসীম কাল ধরে অস্তিত্ব এ থাকে তবে মহাবিশ্বের পূর্বে ঘটে যাওয়া ঘটনাগুলোও হবে অসীম। কিন্তু বাস্তবে অসীম সংখ্যক কোনো কিছুর অস্ত্বিত্ব থাকা অসম্ভব তাই মহাবিশ্ব ও অসীম হতে পারে না বরং এর একটা শুরু রয়েছে। আল গাজ্জালী একচুয়াল ইনফিনিটি কে অসম্ভব বললেও তিনি বলেন সম্ভাব্য অসীমতা থাকা সম্ভব। 

মুলত আমাদের আগে বুঝতে হবে একচুয়াল ইনফিনিট এবং পটেনশিয়াল ইনফিনিট বলতে আমরা কি বুঝাচ্ছি। যখন আমরা পটেনশিয়াল ইনফিনিট বা সম্ভাব্য অসীমতা নিয়ে কথা বলি, সেটা হচ্ছে কোনোকিছু অনির্দিষ্ট ভাবে অসীম ভাবে ছড়িয়ে পড়ছে অথবা ধাবিত হচ্ছে তবে কখনোই ইনফিনিটি তে পৌঁছাতে পারছে না। প্রতিটি লিমিটে এই ধাবমান দূরত্ব ফাইনাইট বা সীমিত। উদাহরণস্বরুপ, ধরুন একটা ফাইনাইট সময়। ১০ টা থেকে ১২ টা এখানে এই দুই ঘন্টা সময় কে ১২ টা অতঃপর ১১ঃ৩০ এরপর ১১ঃ১৫ এরপর ১১ঃ৭.৫…. এভাবে অসীম সংখ্যক ভাগে ভাগ করা যাবে তবে কখনোই অসীমে পৌঁছানো যাবে না অর্থাৎ আপনি যতই ভাগ করুন না কেন হোক তা ১ ট্রিলিয়ন বা ১ সেক্সট্রিলিয়ন তা সবসময়ই ফাইনাইট থাকবে। মুলত এটাই পটেনশিয়াল ইনফিনিট বা সম্ভাব্য অসীম। একে মূলত  Lemniscate ( ∞)  দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এটি মূলত ক্যালকুলাস এ ব্যবহার করা হয়। এর সহজ অর্থ হচ্ছে লিমিটলেস। 

একচুয়াল ইনফিনিট বলতে বোঝায় মূলত কোনোকিছুর স্প্রেড হওয়ার লিমিট একচুয়ালি অসীম এবং কম্পলিট ( ম্যাথমেটিক্যালি) মেটাফিজিক্যালি একচুয়াল ইনফিনিট বলতে  শুরূহীন অতীত এবং শেষহীন ভবিষ্যৎ কে বোঝায় অর্থাৎ পাস্টের দিকেও ইভেন্টের ফর্ম অসীম এবং ফিউচার এর দিকেও ইভেন্টের ফর্ম অসীম। মর্ডান ম্যাথমেটিক্স অনুযায়ী একচুয়াল ইনফিনিট কে প্রকাশ করা হয় হিব্রু ভাষার প্রথম শব্দ ℵ দিয়ে।  এটি ব্যবহৃত হয় সেট থিওরি তে। জর্জ কান্টর প্রথম মর্ডান সেট থিওরি প্রস্তাবনা করেন এবং দেখান যে অসীমের সাইজ ও ছোট বড় হতে পারে। জর্জ কান্টর এর সমসাময়িক ফিলোসোফার অফ ম্যাথ রিচার্ড ডেডিকান্ট Real number এর ডেফিনিশন এর ব্যবহার নিয়ে কাজ করেন। আমরা জানি Real Number “Rational Number &” Irrational Number ” নিয়ে গঠিত।  র‍্যাশনাল নাম্বার মুলত ইন্টিগ্রেটর এবং ফ্র‍্যাকশানাল নাম্বার নিয়ে গঠিত হয়,অন্যদিকে ইরর‍্যাশনাল নাম্বার হচ্ছে √2 অথবা  π। কেননা ইরর‍্যাশনাল নাম্বার কে কোনো ফাইনাইট ডেসিমল দিয়ে প্রকাশ করা যায় না।  √2 এর ক্ষেত্রে আপনি যতই সংখ্যা এড করুন না কেন তা কখনোই শেষ হবে তবে একজ্যাক্ট মানের কাছাকাছি পর্যায়ে  যাওয়া যায় এই সমস্যা সমাধানের জন্যই চিন্তা করছিলেন রিচার্ড ডেডিকান্ট।  তিনি সমাধান তুলে ধরেন যে ইরর‍্যাশনাল নাম্বার এর ক্ষেত্রে যেহেতু  অসীম সংখ্যক সংখ্যা এড করেও একজ্যাক্ট মান পাওয়া যাচ্ছে না সেক্ষেত্রে  আমরা অসীম সংখ্যক সংখ্যার সেট ব্যবহার করে ইরর‍্যাশনাল নাম্বার এর একজ্যাক্ট মান বা লোকেশন বের করতে পারি যেমন ধরুন ( The infinite set of all rational number < √2) 

এখানে √2 এর পূর্বে যত র‍্যাশনাল নাম্বার থাকবে সব হবে আনবাউন্ডেড ইনফিনিট সেট এরপর √2 এর পর যত নাম্বার থাকবে সেগুলোও হবে আনবাউন্ডেড ইনফিনিট সেট।  ( ধরে নিতে হবে) ।  এটাকে ডেডিকান্ট কাট মেথ বলা হয়। কিন্তু আপনি যতই রিভার্সে যান না কেন আপনি কখনোই -∞ ইনফিনিটি তে পৌঁছাতে পারবেন না।  ডেডিকান্ট এটার কোনো উত্তর দিয়ে যান নি। পরবর্তীতে জর্জ কান্টর এটার উত্তর দিয়েছেন।  ইনফাইনাইট আনবাউন্ডেড সেট কে আরও ভালো করে ডিফাইন করতেই জর্জ কান্টর এর ℵ ইনফিনিটির উৎপত্তি।  কারণ এটি ফিলোসোফি অফ ম্যাথ এ একটি ব্যবহারযোগ্য পদ্ধতি যার মাধ্যমে ইররাশনাল নাম্বার কে ব্যাখ্যা করা যায়। যেমন √2.

ক্যালকুলাস এ ব্যবহৃত অসীম lemniscate (∞) আনবাউন্ডেড ইনফিনিট সেট কে ব্যাখ্যা করার জন্য যথেষ্ট নয় কারণ lemniscate লিমিটলেস ধারণা কে নিয়ে আসে যা পটেনশিয়াল ইনফিনিটি। মুলত যদি ইনফিনিট সেট এর ধারণা টা সঠিক সংজ্ঞা না থাকে তবে ডেডিকান্ট কাট মেথড তেমন কোনো কাজে আসবে না যার জন্য জর্জ কান্টর ম্যাথমেটিক্যাল সেট এর একটি পারফেক্ট সংজ্ঞা প্রদান করেন এবং সেক্ষেত্রেই তিনি উদ্ভব করেন দ্বিতীয় অসীম অর্থাৎ ℵ এর।  সাধারণত ফাইনাইট সেট যেভাবে গঠিত হয়, কান্টর ইনফিনিট সেট কে সেভাবে ডিফাইন করেননি। যেমন ন্যাচারাল নাম্বার এর 1-5 কে আমরা সেট এ প্রকাশ করি এভাবে {1,2,3,4,5}  আমরা ফাইনাইট সেট কে সেট এর মধ্যে থাকা এলিমেন্টস গুলো সিকুয়েন্স অনুযায়ী সাজিয়ে সেট টা বিল্ড করি কান্টর ইনফিনিট সেট কে ব্যাখ্যা করতে এই মেথড ব্যবহার করেননি কারণ কান্টর বুঝেছিলেন {1…3445..4555..}  সেট এর মধ্যে থাকা এলিমেন্টস গুলো কে সাজিয়ে ইনফিনিট সেট তৈরি করা কখনোই সম্ভব হবে না।  যদিও বা আপনি বিলিয়ন বছর ধরে ট্রিলিয়ন সংখ্যক এলিমেন্টস এড করতেই থাকেন তবুও আপনি কখনোই ইনফিনিট সেট তৈরি করতে পারবেন না। আপনি বিশাল সংখ্যার একটি সেট তৈরি করতে পারবেন তবে তখনো তা ফাইনাইট সেট ই থাকবে। কেননা এরপরে ও আপনি আরও এলিমেন্টস এড করতে পারবেন। সমসাময়িক অধিকাংশ ফিলোসোফার অফ  ম্যাথ  বলতেন, যে কখনোই এভাবে ইনফিনিট সেট তৈরি করা সম্ভব নয় এমনকি যদি কেউ তৈরি করেও তবুও আপনি কখনোই তা ভেরিফাই করতে পারবেন না। যার দরুন কান্টর এর continuum Hypothesis সত্যিও প্রমাণ করা যায় না এবং মিথ্যেও প্রমাণ করা যায় না।  এবং তারা বিশ্বাস করতেন  ইনফিনিটি জাস্ট একটা ইমেজিনারি কন্সেপ্ট।

তবে ℵ কোনো আইডিয়া নয় বরং একটা নাম্বার। যেহেতু কান্টর জানতেন সাক্সেসিভলি এলিমেন্টস এড এর মাধ্যমে ইনফিনিট সেট গঠন করা সম্ভব নয় তাই তিনি ইনফিনিট সেট তৈরিতে একটি টেকনিক ব্যবহার করেন যাকে বলা হয় one to one Correspondence । এই পদ্ধতিতেই আমরা প্রমাণ করতে পারি, জোড় সংখ্যার সংখ্যা আর মোট সংখ্যার সংখ্যা সমান। (২-১, ৪-২, ৬-৩, ৮-৪….. এরকম জোড়া কিন্তু চলতেই থাকবে)

Natural Numbers: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ………..

Square Numbers: 1,4, 6, 8, 10, 12…….

এভাবে প্রতিটি সংখ্যার বিপরীতে আরেকটি জোড়  সংখ্যা পাওয়া যাবে, মানে আমাদের বিষয়টি প্রমাণ হয়ে গেল। কিন্তু এখানে একটা ‘কিন্তু’ থেকেই গেল! মোট জোড় সংখ্যা আছে অসীম সংখ্যক।  কিন্তু জোড় সংখ্যা তো মোট সংখ্যার একটি উপসেট,  দুইটির উপাদান সংখ্যাই কিন্তু অসীম!! আপনি যখন বলছেন, একটির উপাদান সংখ্যা অন্যটির অপেক্ষা বেশি…তখন কিন্তু একটি বিশাল কথা বলে ফেলেছেন!! আপনি বলে ফেলেছেন, অসীম অসীমের থেকে বড়!! Infinity is bigger than Infinity!! 

এরকম অনেক উপায়ে দুইটি অসীমের মধ্যে তুলনা করে ফেলা যায়! এটিই কান্টর এর continuum Hypothesis. তবে মূল সমস্যা এখানেই। যদি ন্যাচারাল নাম্বার এবং জোড় সংখ্যা উভয় সেট ই ইনফিনিট হয় এর মানে  হচ্ছে দুটোই লিমিটলেস। অর্থাৎ দুটোই সেইম  infinite = infinite. অন্যদিকে জোড় সংখ্যার সেট ন্যাচারাল নাম্বারের সেটের উপসেট হওয়ায় জোড় সংখ্যার সেট টি মোট সংখ্যার সেট এর থেকে সাইজে ছোট। একই সাথে  ইকুয়াল এবং ছোট এটা একটি কন্ট্রাডিকশন।  সুতরাং এটি হওয়া আসলে সম্ভব নয় Reduction ad absurdum অনুযায়ী সিম্পলি বলতে গেলে প্রুফ বাই কন্ট্রাডিকশন। যেহেতু এই ম্যাথমেটিক্যাল কন্সেপ্ট টা কন্ট্রাডিকশন তৈরি করছে সুতরাং এটা আসলে সম্ভব নয়।  

Actual infinite from one to one correspondence is impossible.

তো কান্টর এর ইনফিনিট সেট থিওরি কে কেন গ্রহণ করা হলো? যদিও তা আইডিয়া এবং এজাম্পশন এর উপর বেইস করে তৈরি এর কারণ হচ্ছে কান্টরের চমৎকার কিছু টেকনিক যা তিনি এপ্লাই করেছিলেন এটা দেখাতে যে one to one correspondence সম্ভব।   ন্যাচারাল নাম্বার এবং র‍্যাশনাল নাম্বার এর মধ্যে। 

N { 0,1,2,3,4, 5,6… } 

Q { 0,…0.25…4.99.. } 

যদিও আমরা দেখতে পাই ন্যাচারাল নাম্বার এর থেকে র‍্যাশনাল নাম্বার (Q) তে র‍্যাশনাল নাম্বার এর পরিমাণ বেশি। কান্টর তার Diagonalization argument এর মাধ্যমে এটি দেখান। এ নিয়ে বিস্তারিত লিখছি না এটা আপনারা দেখে নিবেন।  দ্বিতীয়ত কান্টর দেখান যে ন্যাচারাল নাম্বার এবং রিয়েল নাম্বার এর one to one correspondence একেবারেই অসম্ভব।   

N { 0,1,2,3,4,5,6} 

R { 0…√2,….0.25,..} 

এখানে মনে রাখতে হবে বাস্তব সংখ্যার মধ্যে ইর‍্যাশনাল নাম্বার কে কখনোই ফাইনাইট সেট দিয়ে প্রকাশ করা সম্ভব না। যেমন √2, π ইত্যাদি।   কান্টর এখানে কন্ট্রাডিকশন দিয়ে প্রমাণ করার চেষ্টা করেন যে প্রকৃত সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার এক এক মিল একেবারেই অসম্ভব।  কান্টর প্রথমে ডায়াগনাল আর্গুমেন্ট দিয়ে দেখানোর চেষ্টা করেন যে   প্রকৃত সংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার এক এক মিল সম্ভব অন্যদিকে এরপর তিনি দেখান যে প্রকৃত সংখ্যার সেট এবং বাস্তব সংখ্যার সেট এর মধ্যে এক এক মিল অসম্ভব।  কান্টর এর দ্বারা দেখালেন যে  প্রকৃত সংখ্যার অসীম সেট এবং মূলদ সংখ্যার অসীম সেট একই সাইজের অর্থাৎ  |N| = |Q| কিন্তু 

বাস্তব সংখ্যার অসীম সেটের সাইজ, প্রকৃত নাম্বারের অসীম সেটের থেকে বড়।  কান্টর প্রকৃত সংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার অসীম সেট কে নাম দিলেন ℵnull এবং  বাস্তব সংখ্যার অসীম সেটের নাম দিলেন ℵ1  এরপর তিনি বললেন ℵnull এর সাইজ ℵ1 এর থেকে ছোট অর্থাৎ ℵnull< ℵ1 

এভাবে তিনি প্রমাণ করলেন R is larger than N.  যদিও দুটোই অসীম সেট।  যেহেতু কান্টর দেখেছেন যে বাস্তব সংখ্যার অসীম সেটের সাথে প্রকৃত সংখ্যার অসীম সেটের এক এক মিল অসম্ভব সুতরাং প্রকৃত সংখ্যার অসীম সেটের থেকে বড় অসীম সেটের নাম হবে ℵnull, এর থেকেও বড় অসীম সেটের নাম হবে ℵ1 এর থেকে ও বড় সেটের নাম হবে ℵ2 এরপর ℵ3 

অর্থাৎ ℵ°< ℵ1 < ℵ2< ℵ3…. 

এভাবে একটা অসীম সেটের সাইজ থেকে অন্য অসীম সেটের থেকে ছোট বড় হতে পারে এগুলোকেই Transfinite number বলা হয়। 

|| এই চিহ্ন টি ম্যাথমেটিকাল অপারেশন এ ব্যবহৃত হয় এবং এটি কোনো সেটের সাইজ নির্দেশ করে।

ফিলোসফার উইলিয়াম লেইন ক্রেইগ একটি এনালজি ব্যবহার করে দেখান যে ম্যাথমেটিকাল ইনফিনিট সেট এর ক্যালকুলেশন দ্বান্দ্বিক সমস্যা তৈরি করে। চিন্তা করুন, আপনার কাছে অসীম সংখ্যক মার্বেল রয়েছে। সেখান থেকে আপনি আমাকে কিছু মার্বেল দিবেন। ধরুন আপনি আমাকে অসীম সংখ্যক মার্বেল ধার দিবেন।. সুতরাং অসীম সংখ্যক মার্বেল থেকে অসীম সংখ্যক মার্বেল দিয়ে দিলে আপনার কাছে কিছুই থাকলো না।  সুতরাং যদি অসীম সংখ্যক মার্বেল হয় ℵ° তাহলে,  ℵ°- ℵ° = 0

আবার ধরুন,  আপনার অসীম সংখ্যক মার্বেল এর সেট থেকে আপনি সকল বিজোড় সংখ্যক মার্বেল ধার দিবেন তাহলে অসীম সংখ্যক মার্বেল এর সেট এ অসীম বিজোড় সংখ্যক মার্বেল রয়েছে। এখন যদি আপনি আমাকে সকল বিজোর সংখ্যক মার্বেল ধার দেব তবুও আপনার কাছে অসীম সংখ্যক মার্বেল রয়ে যাবে। অর্থাৎ ℵ°- ℵ° = ℵ°!  

এবং এটা সুস্পষ্ট একটা কন্ট্রাডিকশন। কারণ একবার অসীম সংখ্যক মার্বেল থেকে অসীম সংখ্যক মার্বেল বাদ দিলে একটা উত্তর পাচ্ছি অন্যদিকে দ্বিতীয়বার বাদ দিলে অন্যরকম উত্তর পাচ্ছি। অর্থাৎ আইডেন্টিকাল ভ্যালু থেকে আইডেন্টিক্যাল ভ্যালু বাদ দিলেও আমরা ভিন্ন ভিন্ন উত্তর পাচ্ছি। এটি দেখায় যে ম্যাথমেটিকালিও ইনফিনিটির আইডিয়া একটা অযৌক্তিক জিনিস।

অন্যান্য ফিলোসোফার রা এটাকে রিবাটল দেয়ার জন্য বলেন, ম্যাথমেটিক্যালি ইনফিনিট সেট থেকে ইনফিনিট সেট কে বিয়োগ করার ফলে দ্বন্দ্বমূলক ফলাফল আসলেও এর মানে এই নয় যে যুক্তিসঙ্গত ভাবে তা অসম্ভব। তারা বলেন, বাস্তব জগতে একটি অসীম সেট থেকে অসীম উপসেট বাদ দেয়া সম্ভব। দার্শনিক Wes Morriston বলেন, নাম্বারের ক্ষেত্রে যোগ,বিয়োগ করা এক জিনিস আর  এলিমেন্টস যুক্ত করে বা বাদ দিয়ে একটি অসীম সেট গঠন করা ভিন্ন জিনিস, যেখানে কান্টর থিওরি এপ্লাই করে ম্যাথমেটিক্যাল অপারেশন এ কোনো ফলাফল না আসে বা অনির্ণেয় হয়। অনুরুপ ভাবে দার্শনিক Arnold Guminski বলেন,  একটি অসীম সেট থেকে অসাইম উপসেট এর বাদ দেয়া এবং একটি ট্রান্সফাইনাইট নাম্বার থেকে আরেকটি ট্রান্সফাইনাইট নাম্বার বাদ দেয়ার মধ্যে পার্থক্য আছে। যদিও দু পক্ষের দার্শনিক ই এখন একমত যে, সাধারণভাবে Transfinite Arithmetic এ অসীম সেট থেকে অসীম উপসেট বাদ দেয়ার ফলাফল আসলেই দ্বন্দ্বমূলক এবং এসব ম্যাথমেটিক্যাল অপারেশন এর সাথে বাস্তব জগতের কোনো সাদৃশ্য নেই।  এমনকি Wes Morriston এর অসীম সেট গঠনের জন্য এলিমেন্টস বাদ দেয়া কিংবা ফলাফল অনির্নেয় হলেও গানিতিকভাবে এই দ্বন্দ্ব এড়ানো যায় না। 

অসীমের এই গানিতিক ফলাফল প্রমাণ করে যে এর সাথে বাস্তব জগতের কোনো সাদৃশ্য নেই। যেমন ধরুন সাধারণ পাটিগণিত এ আমরা যদি বিয়োগ করি 5-3 = 2 এটাকে আপনি বাস্তব জগতে এপ্লাই করতে পারবেন যেমন ধরুন ৫ টি আপেল থেকে আমি ৩ টি আপেল খেয়ে ফেললে আর দুটো আপেল থাকে এটা গানিতিকভাবেও সত্যি এবং বাস্তব জগতের ক্ষেত্রেও সত্যি। অন্যদিকে Transfinite numbers এর ক্ষেত্রে তা খোদ গানিতিক ফলাফল এর দিক থেকেই দ্বন্দ্ব তৈরি করে বাস্তব জগতের সাথে তাদের সম্পর্ক থাকা তো আরো বহু দূরের কথা।

আবার ক্রেইগ এর এনালজি তে ফিরে আসি এবার আপনি মনে করুন, আপনি সকল বিজোড় সংখ্যাক অসীম মার্বেল আমাকে ধার দিবেন, এবং আপনার কাছে সকল ন্যাচারাল নাম্বার এর অসীম সেট এর মার্বেল রেখে দিবেন। তাহলে প্রকৃত সংখ্যক মার্বেলের অসীম সেট ( half of full set) 

বিজোড় সংখ্যক মার্বেলের অসীম সেট দুটো মিলে পূর্ণ অসীম সংখ্যক মার্বেলের একটা অসীম সেট। তাহলে এবার বিজোড় সংখ্যাক মার্বেল ধার দেয়ার ফলে আপনার কাছেও অসীম সংখ্যক মার্বেল থেকে গেল ℵ°- ℵ°= ℵ°  আবার যেহেতু বিজোড় সংখ্যাক মার্বেলের সেট নিজেও অসীম, অনুরুপ প্রকৃত সংখ্যক মার্বেলের সেট ও অসীম এবং পূর্ণ মার্বেলের সেট ও অসীম সেক্ষেত্রে অসীম থেকে অসীম বাদ দিলে কিছুই থাকার কথা নয়। যেহেতু এক এক মিল অনুযায়ী সকল অসীম সেট ই ইকুয়াল, সুতরাং  আগের মতোই ℵ°- ℵ° = 0! পুনরায় কন্ট্রাডিকশন। ইনফিনিট সেট যখন লিমিটলেস তখন ফলাফল অসীম এরপর যখন অসীম সেটের সাইজ ইকুয়াল তখন ফলাফল শুন্য। যা গানিতিক ভাবে এবং যুক্তিসঙ্গত ভাবে দ্বন্দ্ব তৈরি করে। একই সময়ে অসীম এবং অসীম না। সুতরাং এই দ্বন্দ্বমূলক বিষয় বাস্তব জগতেও কখনো ব্যবহার করা সম্ভব নয় এবং এর জন্যই গণিতে ℵ বা সেট থিওরির অসীম ফাউন্ডেশন হিসেবে কাজ করলেও বাস্তব জগতের সাথে এর কোনো সম্পর্ক নেই। যার ফলে মেটাফিজিক্যালি একচুয়াল ইনফিনিটি অস্তিত্বে থাকা অসম্ভব। 

অসীমতা নিয়ে দার্শনিক দৃষ্টিভঙ্গি 

আমরা পূর্বে ম্যাথমেটিক্যাল ইনফিনিটি নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। আজ আমরা দেখব কিভাবে একচুয়াল ইনফিনিটি মেটাফিজিক্যালি নেসেসারি ট্রুথ মে ভায়োলেট করে। 

ডেভিড হিলবার্ট বিংশ শতাব্দীর অন্যতম সেরা গনিতবিদ। তিনি Transfinite numbers কে ব্যাখ্যার সুবিধার্তে Über das Unendliche” নামক এক কনফারেন্সে ইনফিনিট গ্র‍্যান্ড হোটেলের একটি এনালজি উপস্থাপন করেন৷ যা পরবর্তীতে হিলবার্ট হোটেল নামে পরিচিতি পায়। তার এনালজি টা বাস্তব জগতে অসীমতার ব্যবহার এর অযৌক্তিকতা তুলে ধরে। 

১/ মনে করুন একটি অসীম সংখ্যক রুমের একটি হোটেল রয়েছে এবং সেই হোটেলের প্রতিটি রুম অসীম সংখ্যক মানুষ দ্বারা পূর্ণ। আমরা এই হোটেলের নাম দিলাম ইনফিনিট গ্র‍্যান্ড হোটেল। তো একদিন বিকেলে রিসেপশনিস্ট এর কাছে একজন নতুন গেস্ট আসলেন তার একটা রুম প্রয়োজন। কিন্তু আমাদের হোটেলের অসীম সংখ্যক রুম তো অসীম সংখ্যক গেস্ট দ্বারা পূর্ণ তাহলে? আমাদের রিসেপশনিস্ট যথেষ্ট বুদ্ধিমতী।  তিনি  n+1 সংখ্যক করে গেস্ট শিফট করতে থাকলেন অর্থাৎ রুম #১ এর গেস্ট গেলেন রুম #২ এ, রুম #২ থেকে রুম #৩ এভাবে অসীম পর্যন্ত। যেহেতু এই অসীম সংখ্যক রুম সম্বলিত হোটেলের কোনো শেষ রুম নেই তবে একটি নেক্সট রুম সবসময়ই রয়েছে। সুতরাং ১ নম্বর রুমটি খালি হয়ে গেল। রিসেপশনিস্ট নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দিলেন। যদিওবা আমাদের রুম কিন্তু পূর্ণ ছিলো! 

২/  রিসেপশনিস্ট গ্র‍্যান্ড হোটেলে অলস সময় কাটাচ্ছেন। এক বিকেলে জানালা দিয়ে তিনি দেখলেন একটি বাসে অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট এসে দাড়িয়ে আছে প্রত্যেকে নতুন রুম চাচ্ছে। অথচ গ্র‍্যান্ড হোটেলের অসীম সংখ্যক রুম তো আগে থেকেই পূর্ণ। আগেই বলেছি আমাদের রিসেপশনিস্ট যথেষ্ট বুদ্ধিমতী। তিনি দুই ঘর করে গেস্টদের  অন্যরুমে শিফট করতে শুরু করলেন এভাবে রুমঃ #১ কে রুম #২ তে, রুম #২ এর গেস্ট কে রুম #৪ এ,  রুম #৩ এর গেস্ট কে রুম #৬ এ, এভাবে অসীম পর্যন্ত।  এভাবে একই সময়ে অসীম সংখ্যক রুম রুমে গেস্ট সাফলিং করার ফলে অসীম সংখ্যক বিজোড় সংখ্যক রুম খালি হয়ে গেল। রিসেপশনিস্ট এবার অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে অসীম সংখ্যক রুম পরিপূর্ণ হোটেলে জায়গা করে দিলেন! যদিও আমাদের ইনফিনিট হোটেল আগে থেকেই পরিপূর্ণ ছিলো।

৩/ পরবর্তীতে রিসেপশনিস্ট এক বিকেলে দেখেন হোটেলের বাহিরে অসীম সংখ্যক বাসে, অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট এসে উপস্থিত! প্রত্যেকের আলাদা আলাদা রুম প্রয়োজন। এবার রিসেপশনিস্ট খানিকটা ঘাবড়ে গেলেন।তো যাইহোক, আমরা কিভাবে অসীম সংখ্যক বাসে থাকা অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দেব?  রিসেপশনিস্ট এবার কি করবে?  অনেক চিন্তা করে তার মনে পড়লো গুরু ইউক্লিডের কথা। তিনি বলেছেন, মৌলিক সংখ্যা আছে অসীম সংখ্যক। রিসেপশনিস্ট  আইডিয়া পেয়ে গেল! এক নম্বর রুমের লোককে পাঠানো হলো দুই নম্বর রুমে, দুই নম্বর রুম থেকে চার নম্বর রুমে, তিন থেকে আটে, চার থেকে ষোলতে… বুঝতে পারছেন? এখানে n নম্বর রুমের লোককে 2^n নম্বর রুমে পাঠানো হলো। দুইয়ের ঘাত বাদে সব রুম কিন্তু ফাঁকা হয়ে গেল। 

প্রথম বাস কে জায়গা দিতে হলে, 

1  2^1 = 2 

2  2^2 = 4 

3  2^3 = 8

এভাবে অসীম পর্যন্ত।  পরের বাসের লোককে পাঠানো হলো ৩, ৯, ২৭, ৮১, …3^n… নাম্বার রুমে। পরের মৌলিক সংখ্যা পাঁচের ঘাতে, পরের বাসে সাতের ঘাতে। এভাবে প্রতিটি বাসের জন্য একটি করে মৌলিক সংখ্যার ঘাতে তাদের জায়গা হলো। অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা থাকায় অসীম সংখ্যক বাসের লোকদের জায়গা হলো। অসাধারণ রিসেপশনিস্ট এবার অসীম সংখ্যক বাসের অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দিতে সক্ষম হলেন। যদিও আমাদের ইনফিনিট হোটেল আগে থেকেই পূর্ণ ছিলো! 

অনেক হিসেব নিকেশ হলো। এবার প্রথম সিচুয়েশন টি কল্পনা করুন। রিসেপশনিস্ট অসীম সংখ্যক রুম পূর্ণ হোটেলে নতুন একজন রিসেপশনিস্ট কে জায়গা করে দিয়েছিলেন। সুতরাং এখন যদি সেখান থেকে অসীম সংখ্যক গেস্ট সরিয়ে নেই তাহলে গেস্ট এর সংখ্যা থাকে ১ জন।  ধরে নিচ্ছি অসীম সংখ্যক গেস্ট হচ্ছেন ℵ°।  এখন ℵ°- ℵ° = 1 

এবার দ্বিতীয় সিচুয়েশন টি কল্পনা করুন। রিসেপশনিস্ট অসীম সংখ্যক রুম পূর্ণ হোটেলে অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দিয়েছিলেন। সুতরাং অসীম বিজোড় সংখ্যক নতুন গেস্ট ছিলো সেই হোটেলে। যেহেতু ন্যাচারাল নাম্বারের সেট ও অসীম এবং বিজোড় সংখ্যক গেস্ট এর সেট ও অসীম। সেক্ষেত্রে অসীম সংখ্যক গেস্ট থেকে অসীম সংখ্যক গেস্ট সরিয়ে নিলে  গেস্ট  থাকবে অসীম সংখ্যক। অর্থাৎ, ℵ°- ℵ° = ℵ°! 

এবার  তৃতীয় সিচুয়েশন টি কল্পনা করুন। মৌলিক সংখ্যা আছে যেহেতু অসীম যেহেতু হোটেলটি পূর্ণ অবস্থায় রিসেপশনিস্ট অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে হোটেলে জায়গা করে দিয়েছিলেন।  সুতরাং আবার ও অসীম থেকে অসীম সরিয়ে নিলে অবশিষ্ট থাকে অসীম সংখ্যক গেস্ট।  ℵ°- ℵ° = ℵ° 

অর্থাৎ এই এনালজিতেও দেখা যাচ্ছে Identical quantity – Identical quantity = absurd result. 

আমরা একই কোয়ান্টিটি থেকে সেইম কোয়ান্টিটি বাদ দিয়ে ভিন্ন ভিন্ন ফলাফল পাচ্ছি যা কন্ট্রাডিকশনমূলক। এবং মেটাফিজিক্যাল নেসেসারি ট্রুথ কে ভায়োলেট করে৷ 

ইনফিনিট হোটেল পূর্ণ থাকার পরেও মানুষ কে জায়গা করে দেয়া যাচ্ছে এই বিষয় টা টোটালি এবসার্ড। কারণ রুম তো৷ আগে থেকেই পূর্ণ। অর্থাৎ রুম একই সঙ্গে খালি এবং পূর্ণ যা অসম্ভব।  আবার আমরা আইডেন্টিক্যাল কোয়ান্টিটি থেকে আইডেন্টিক্যাল কোয়ান্টিটি বাদ দিলে আমরা ভিন্ন ভিন্ন ফলাফল পাচ্ছি যা কন্ট্রাডিকশন তৈরি করে। 

(a) There cannot be a world in which an actually infinite number of things have been actualized.

(b) If the actual world is one in which the universe is past-eternal,

 then there is a world in which an actually infinite number of things have been actualized.

(C) Therefore, the actual world cannot be one in which the universe

 is past-eternal. 

1. এমন কোনো জগৎ থাকতে পারে না যেখানে একচুয়াল ইনফিনিট ( অসীম সংখ্যক)  ঘটনা একচুয়ালাইজড হবে।

2. যদি মহাবিশ্ব পাস্ট ইটারনাল হয় তবে এখানে একচুয়াল ইনফিনিট সংখ্যক ঘটনা একচুয়ালাইজড হবে। 

3. সুতরাং আমাদের এই জগত এমন যে এখানে মহাবিশ্ব পাস্ট ইটারনাল হবে না। 

তবে  ম্যাথমেটিক্যাল পার্স্পেক্টিভ থেকে Wes Morriston এর মতে যদি আমরা Cantor’s theory এপ্লাই করি তাহলে রেজাল্ট আসবে আনডিফাইনড।  ম্যাথমেটিসিয়ান জেইমস ইস্ট সেইম কথা উল্লেখ করেছেন। ( ম্যাথমেটিক্যাল ইনফিনিটি নিয়ে আলোচনায় বিস্তারিত)  

তবে এখানে ক্যাটাগরি মিস্টেক ফ্যালাসি হয়েছে বলা যায়। Cantor’s theory এপ্লাই করলেও এইটা প্রমাণ করা সম্ভব না একচুয়াল ইনফিনিটি আদৌ সম্ভব। একটা কথা মাথায় রাখা উচিত ‘ যা ম্যাথমেটিকালি সম্ভব তা সবসময় মেটাফিজিকালি সম্ভব হবে এমন কোনো কথা নাই’। 

উদাহরণ হিসেবে কুয়ার্ড্রাটিক সমীকরণ x^2-4=0; তাহলে x=+-2…  অর্থাৎ x এর মান ২ টি। ( -2/W এখন যদি বলা হয় আমি সকাল বেলা কয়টা কাজ করেছি; উত্তরে যদি বলি “-২টা” তাহলে তা কনক্রিট ওয়ার্ল্ডে মেটাফিজিকালি অসম্ভব(তবে হ্যা কিছু ক্ষেত্রে যেমন ভেক্টরে মাইনাস এর আলাদা মিনিং আছে তবে তা কন্টেক্সুয়াল)।  তাই এই উপসংহার  “-২টা”  শুধুমাত্র ম্যাথমেটিকাল কনসিডারেশন এক্সপ্রেস করছে যেখানে অপরদিকে “২টা কাজ” ম্যাথমেটিকাল কনসিডারেশন সহ মেটাফিজিকাল কন্সিডারেশনও দেখাচ্ছে। 

এর থেকে বুঝা যায় মেটাফিজিকাল কনসিডারেশন বেশি ফান্ডামেন্টাল ম্যাথমেটিকাল কন্সিডারেশনের তুলনায়। )অর্থাৎ Wes Morriston এর অবজেকশন এখানে একদমই খাটানো সম্ভব না। 

আবার, কিছু ফিলোসফারদের মতে,  পাস্ট ইটারনাল না হলে ফিউচার ও ইটারনাল ( merely potential)  হবে না কারণ পাস্ট এবং ফিউচার ইনফিনিটি সেইম।  তবে হিলবার্ট হোটেল এর এনালজি থেকেই বোঝা যায় বিষয়টি এমন নয়।  কারণ প্রেজেন্টিজম ভিউ থেকে দেখলেও পাস্ট ইতোমধ্যে একচুয়ালাইজড হয়ে গেছে কিন্তু ফিউচার এখনো হয়নি। সুতরাং মহাবিশ্ব পাস্ট ইটারনাল হবে না কারণ ইনফিনিটি একচুয়ালাইজড হওয়াটা মেটাফিজিক্যালি অসম্ভব। তবে ফিউচার যেহেতু কন্টিনিউস লিমিটলেসভাবে সামনে এগোচ্ছে তবে শেষ হচ্ছে না বা একচুয়ালাইজড হচ্ছে না তাই এখানে কোনো সমস্যা নেই ফিউচার পটেনশিয়াল ইনফিনিট হতেই পারে এবং তা মেটাফিজিক্যালি সম্ভব। 

রেফারেন্সঃ

১.https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57816-2

২.Dauben, Joseph W. (1979). [Unavailable on archive.org] Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 978-0-691-02447-9..

৩ Dauben, Joseph W. (1977). “Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite”. Journal of the History of Ideas. 38 (1): 85–108. doi:10.2307/2708842. JSTOR 2708842..

৪.https://drive.google.com/file/d/1-DEXamwgrT82Bc-85IjQKHa3IdjeqdJA/view?usp=drivesdk

৫.https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1874.77.258/html

৬.https://www.jstor.org/stable/3026799?origin=crossref

৭.Suppes, Patrick (1972) [1960]. Axiomatic Set Theory. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8..

৭.https://www.gutenberg.org/ebooks/21016

৮.Morriston,Wes(2002). “Craig on the Actual Infinite”

৯. East, James(2013). “Infinity minus Infinity”

১০.. Loke, Andrew(2012). “Is Infinite Temporal Regress of Events Possible?” 

১১. Loke, Andrew(2016). “On the infinite God objection: A reply to Jacobus Erasmus and Anne Hendrik Verhoef”

১২.  Rucker, Rudy (1984) [1982]. Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Paladin. pp. 73–78. ISBN 0-586-08465-7.

১৩. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-69444-1

ইনফিনিটি অন্যান্য লেখাঃ
মহাবিশ্ব কি অসীম? – Faith and Theology (faith-and-theology.com)