হিলবার্ট হোটেল এবং জগতে অসীমতার অসম্ভাব্যতা

ডেভিড হিলবার্ট বিংশ শতাব্দীর অন্যতম সেরা গনিতবিদ। তিনি Transfinite numbers কে ব্যাখ্যার সুবিধার্তে Über das Unendliche” নামক এক কনফারেন্সে ইনফিনিট গ্র‍্যান্ড হোটেলের একটি এনালজি উপস্থাপন করেন৷ যা পরবর্তীতে হিলবার্ট হোটেল নামে পরিচিতি পায়। তার এনালজি টা বাস্তব জগতে অসীমতার ব্যবহার এর অযৌক্তিকতা তুলে ধরে। (১)

১/ মনে করুন একটি অসীম সংখ্যক রুমের একটি হোটেল রয়েছে এবং সেই হোটেলের প্রতিটি রুম অসীম সংখ্যক মানুষ দ্বারা পূর্ণ। আমরা এই হোটেলের নাম দিলাম ইনফিনিট গ্র‍্যান্ড হোটেল। তো একদিন বিকেলে রিসেপশনিস্ট এর কাছে একজন নতুন গেস্ট আসলেন তার একটা রুম প্রয়োজন। কিন্তু আমাদের হোটেলের অসীম সংখ্যক রুম তো অসীম সংখ্যক গেস্ট দ্বারা পূর্ণ তাহলে? আমাদের রিসেপশনিস্ট যথেষ্ট বুদ্ধিমতী। তিনি n+1 সংখ্যক করে গেস্ট শিফট করতে থাকলেন অর্থাৎ রুম #১ এর গেস্ট গেলেন রুম #২ এ, রুম #২ থেকে রুম #৩ এভাবে অসীম পর্যন্ত। যেহেতু এই অসীম সংখ্যক রুম সম্বলিত হোটেলের কোনো শেষ রুম নেই তবে একটি নেক্সট রুম সবসময়ই রয়েছে। সুতরাং ১ নম্বর রুমটি খালি হয়ে গেল। রিসেপশনিস্ট নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দিলেন। যদিওবা আমাদের রুম কিন্তু পূর্ণ ছিলো!

২/ রিসেপশনিস্ট গ্র‍্যান্ড হোটেলে অলস সময় কাটাচ্ছেন। এক বিকেলে জানালা দিয়ে তিনি দেখলেন একটি বাসে অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট এসে দাড়িয়ে আছে প্রত্যেকে নতুন রুম চাচ্ছে। অথচ গ্র‍্যান্ড হোটেলের অসীম সংখ্যক রুম তো আগে থেকেই পূর্ণ। আগেই বলেছি আমাদের রিসেপশনিস্ট যথেষ্ট বুদ্ধিমতী। তিনি দুই ঘর করে গেস্টদের অন্যরুমে শিফট করতে শুরু করলেন এভাবে রুমঃ #১ কে রুম #২ তে, রুম #২ এর গেস্ট কে রুম #৪ এ, রুম #৩ এর গেস্ট কে রুম #৬ এ, এভাবে অসীম পর্যন্ত। এভাবে একই সময়ে অসীম সংখ্যক রুম রুমে গেস্ট সাফলিং করার ফলে অসীম সংখ্যক বিজোড় সংখ্যক রুম খালি হয়ে গেল। রিসেপশনিস্ট এবার অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে অসীম সংখ্যক রুম পরিপূর্ণ হোটেলে জায়গা করে দিলেন! যদিও আমাদের ইনফিনিট হোটেল আগে থেকেই পরিপূর্ণ ছিলো।

৩/ পরবর্তীতে রিসেপশনিস্ট এক বিকেলে দেখেন হোটেলের বাহিরে অসীম সংখ্যক বাসে, অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট এসে উপস্থিত! প্রত্যেকের আলাদা আলাদা রুম প্রয়োজন। এবার রিসেপশনিস্ট খানিকটা ঘাবড়ে গেলেন।তো যাইহোক, আমরা কিভাবে অসীম সংখ্যক বাসে থাকা অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দেব? রিসেপশনিস্ট এবার কি করবে? অনেক চিন্তা করে তার মনে পড়লো গুরু ইউক্লিডের কথা। তিনি বলেছেন, মৌলিক সংখ্যা আছে অসীম সংখ্যক। রিসেপশনিস্ট আইডিয়া পেয়ে গেল! এক নম্বর রুমের লোককে পাঠানো হলো দুই নম্বর রুমে, দুই নম্বর রুম থেকে চার নম্বর রুমে, তিন থেকে আটে, চার থেকে ষোলতে… বুঝতে পারছেন? এখানে n নম্বর রুমের লোককে 2^n নম্বর রুমে পাঠানো হলো। দুইয়ের ঘাত বাদে সব রুম কিন্তু ফাঁকা হয়ে গেল। প্রথম বাস কে জায়গা দিতে হলে,

1 2^1 = 2
2 2^2 = 4
3 2^3 = 8

এভাবে অসীম পর্যন্ত। পরের বাসের লোককে পাঠানো হলো ৩, ৯, ২৭, ৮১, …3^n… নাম্বার রুমে। পরের মৌলিক সংখ্যা পাঁচের ঘাতে, পরের বাসে সাতের ঘাতে। এভাবে প্রতিটি বাসের জন্য একটি করে মৌলিক সংখ্যার ঘাতে তাদের জায়গা হলো। অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা থাকায় অসীম সংখ্যক বাসের লোকদের জায়গা হলো। অসাধারণ রিসেপশনিস্ট এবার অসীম সংখ্যক বাসের অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দিতে সক্ষম হলেন। যদিও আমাদের ইনফিনিট হোটেল আগে থেকেই পূর্ণ ছিলো!

অনেক হিসেব নিকেশ হলো। এবার প্রথম সিচুয়েশন টি কল্পনা করুন। রিসেপশনিস্ট অসীম সংখ্যক রুম পূর্ণ হোটেলে নতুন একজন রিসেপশনিস্ট কে জায়গা করে দিয়েছিলেন। সুতরাং এখন যদি সেখান থেকে অসীম সংখ্যক গেস্ট সরিয়ে নেই তাহলে গেস্ট এর সংখ্যা থাকে ১ জন। ধরে নিচ্ছি অসীম সংখ্যক গেস্ট হচ্ছেন ℵ°। এখন ℵ°- ℵ° = 1

এবার দ্বিতীয় সিচুয়েশন টি কল্পনা করুন। রিসেপশনিস্ট অসীম সংখ্যক রুম পূর্ণ হোটেলে অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে জায়গা করে দিয়েছিলেন। সুতরাং অসীম বিজোড় সংখ্যক নতুন গেস্ট ছিলো সেই হোটেলে। যেহেতু ন্যাচারাল নাম্বারের সেট ও অসীম এবং বিজোড় সংখ্যক গেস্ট এর সেট ও অসীম। সেক্ষেত্রে অসীম সংখ্যক গেস্ট থেকে অসীম সংখ্যক গেস্ট সরিয়ে নিলে গেস্ট থাকবে অসীম সংখ্যক। অর্থাৎ, ℵ°- ℵ° = ℵ°!

এবার তৃতীয় সিচুয়েশন টি কল্পনা করুন। মৌলিক সংখ্যা আছে যেহেতু অসীম যেহেতু হোটেলটি পূর্ণ অবস্থায় রিসেপশনিস্ট অসীম সংখ্যক নতুন গেস্ট কে হোটেলে জায়গা করে দিয়েছিলেন। সুতরাং আবার ও অসীম থেকে অসীম সরিয়ে নিলে অবশিষ্ট থাকে অসীম সংখ্যক গেস্ট। ℵ°- ℵ° = ℵ°

অর্থাৎ এই এনালজিতেও দেখা যাচ্ছে Identical quantity – Identical quantity = different result!

আমরা  একই কোয়ান্টিটি থেকে সেইম কোয়ান্টিটি বাদ দিয়ে ভিন্ন ভিন্ন ফলাফল পাচ্ছি যা কন্ট্রাডিকশনমূলক। এবং মেটাফিজিক্যাল নেসেসারি ট্রুথ কে ভায়োলেট করে৷

ইনফিনিট হোটেল পূর্ণ থাকার পরেও মানুষ কে জায়গা করে দেয়া যাচ্ছে এই বিষয় টা টোটালি এবসার্ড। কারণ রুম তো আগে থেকেই পূর্ণ। অর্থাৎ রুম একই সঙ্গে খালি এবং পূর্ণ যা অসম্ভব। আবার আমরা আইডেন্টিক্যাল কোয়ান্টিটি থেকে আইডেন্টিক্যাল কোয়ান্টিটি বাদ দিলে আমরা ভিন্ন ভিন্ন ফলাফল পাচ্ছি যা কন্ট্রাডিকশন তৈরি করে।

(a) There cannot be a world in which an actually infinite number of things have been actualized.

(b) If the actual world is one in which the universe is past-eternal,

then there is a world in which an actually infinite number of things have been actualized.

(C) Therefore, the actual world cannot be one in which the universe is past-eternal.

1. এমন কোনো জগৎ থাকতে পারে না যেখানে একচুয়াল ইনফিনিট ( অসীম সংখ্যক) ঘটনা একচুয়ালাইজড হবে

2. যদি মহাবিশ্ব পাস্ট ইটারনাল হয় তবে এখানে একচুয়াল ইনফিনিট সংখ্যক ঘটনা একচুয়ালাইজড হবে।

3. সুতরাং আমাদের এই জগত এমন যে এখানে মহাবিশ্ব পাস্ট ইটারনাল হবে না।

তবে ম্যাথমেটিক্যাল পার্স্পেক্টিভ থেকে Wes Morriston এর মতে যদি আমরা Cantor’s theory এপ্লাই করি তাহলে রেজাল্ট আসবে আনডিফাইনড। (২) ম্যাথমেটিসিয়ান জেইমস ইস্ট(৩) সেইম কথা উল্লেখ করেছেন।  (  অসীমের উপর গাণিতিক এবং দার্শনিক দৃষ্টিভঙ্গি বিস্তারিত )   তবে এখানে ক্যাটাগরি মিস্টেক ফ্যালাসি হয়েছে বলা যায়। Cantor’s theory এপ্লাই করলেও এইটা প্রমাণ করা সম্ভব না একচুয়াল ইনফিনিটি আদৌ সম্ভব। একটা কথা মাথায় রাখা উচিত ‘ যা ম্যাথমেটিকালি সম্ভব তা সবসময় মেটাফিজিকালি সম্ভব হবে এমন কোনো কথা নেই।

উদাহরণ হিসেবে কুয়ার্ড্রাটিক সমীকরণ এর কথা যায়। এক্ষেত্রে x^2-4=0; তাহলে x=+-2… অর্থাৎ x এর মান ২ টি। ( -2/W এখন যদি বলা হয় আমি সকাল বেলা কয়টা কাজ করেছি; উত্তরে যদি বলি “-২টা” তাহলে তা কনক্রিট ওয়ার্ল্ডে মেটাফিজিকালি অসম্ভব(তবে হ্যা কিছু ক্ষেত্রে যেমন ভেক্টরে মাইনাস এর আলাদা মিনিং আছে তবে তা কন্টেক্সুয়াল)। তাই এই উপসংহার “-২টা” শুধুমাত্র ম্যাথমেটিকাল কনসিডারেশন এক্সপ্রেস করছে যেখানে অপরদিকে “২টা কাজ” ম্যাথমেটিকাল কনসিডারেশন সহ মেটাফিজিকাল কন্সিডারেশনও দেখাচ্ছে। (৪) এর থেকে বুঝা যায় মেটাফিজিকাল কনসিডারেশন বেশি ফান্ডামেন্টাল ম্যাথমেটিকাল কন্সিডারেশনের তুলনায়। অর্থাৎ Wes Morriston এর অবজেকশন এখানে একদমই খাটানো সম্ভব না। আবার, কিছু ফিলোসফারদের মতে, পাস্ট ইটারনাল না হলে ফিউচার ও ইটারনাল ( merely potential) হবে না কারণ পাস্ট এবং ফিউচার ইনফিনিটি সেইম। তবে হিলবার্ট হোটেল এর এনালজি থেকেই বোঝা যায় বিষয়টি এমন নয়। কারণ প্রেজেন্টিজম ভিউ থেকে দেখলেও পাস্ট ইতোমধ্যে একচুয়ালাইজড হয়ে গেছে কিন্তু ফিউচার এখনো হয়নি। সুতরাং মহাবিশ্ব পাস্ট ইটারনাল হবে না কারণ ইনফিনিটি একচুয়ালাইজড হওয়াটা মেটাফিজিক্যালি অসম্ভব। তবে ফিউচার যেহেতু কন্টিনিউস লিমিটলেসভাবে সামনে এগোচ্ছে তবে শেষ হচ্ছে না বা একচুয়ালাইজড হচ্ছে না তাই এখানে কোনো সমস্যা নেই ফিউচার পটেনশিয়াল ইনফিনিট হতেই পারে এবং তা মেটাফিজিক্যালি সম্ভব। (৫)

রেফারেন্সঃ ১.https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57816-2

২.Dauben, Joseph W. (1979). [Unavailable on archive.org] Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 978-0-691-02447-9.

৩. Dauben, Joseph W. (1977). “Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite”. Journal of the History of Ideas. 38 (1): 85–108. doi:10.2307/2708842. JSTOR 2708842

৪.https://drive.google.com/file/d/1-DEXamwgrT82Bc-85IjQKHa3IdjeqdJA/view?usp=drivesdk

৫.https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1874.77.258/html

৬.https://www.jstor.org/stable/3026799?origin=crossref

৭.Suppes, Patrick (1972) [1960]. Axiomatic Set Theory. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8..

৭.https://www.gutenberg.org/ebooks/21016

৮.Morriston,Wes(2002). “Craig on the Actual Infinite”

৯. East, James(2013). “Infinity minus Infinity”

১০.. Loke, Andrew(2012). “Is Infinite Temporal Regress of Events Possible?”

১১. Loke, Andrew(2016). “On the infinite God objection: A reply to Jacobus Erasmus and Anne Hendrik Verhoef”

১২. Rucker, Rudy (1984) [1982]. Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Paladin. pp. 73–78. ISBN 0-586-08465-7.

১৩. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-69444-1

সংযোজিত তথ্যসূত্রঃ

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-69444-1

2.Morriston,Wes(2002). “Craig on the Actual Infinite”

3. East, James(2013). “Infinity minus Infinity”

4. Loke, Andrew(2016). “On the infinite God objection: A reply to Jacobus Erasmus and Anne Hendrik Verhoef”

5. Loke, A. (2014). No heartbreak at Hilbert’s Hotel: a reply to Landon Hedrick. Religious Studies, 50(1), 47-50.

© লেখাটি দ্য গড হাইপোথিসিস A case for Existance of Allah বইটি থেকে সংগৃহীত।